Записки на полях

Математика, возможно, изучает их и точно так же, но вот физика делает это несколько иначе. :)

Физика (и прочие естественные науки) строит математические модели для изучения свойств объектов только потому, что обычно это оказывается достаточно эффективным методом. Но не более того. Построение моделей не является ни самоцелью физики, ни необходимой для реализации ее целей стадией, и в ее истории было не так уж мало случаев, когда в той или иной области моделирование как таковое попросту отсутствовало, дело сводилось лишь к сбору и, возможно, некоторому обобщению экспериментальных фактов.

Поэтому математика действительно имеет очень много общего с теоретической физикой. Но последняя - это только часть физики. Важная, полезная, но, вообще говоря, необязательная.

From:

... - одно и тоже, но на практике - это совсем разные вещи. (древняя мудрость)
На самом деле, математика - это заметная часть физики и существенно зависит от физики. Более того, математика - это одно из свойств физических явлений. Грубо говоря, математика момента большого взрыва несколько отличалась от "нашей" математики и 2*2 там могло быть равно чему угодно, а параллельные прямые пересекались бесконечное количество раз :-) Это если считать, что большой взрыв был и мы не имеем дело со снижением частоты электромагнитного сигнала с расстоянием.

From:

Обычно математики не соглашаются с тем, что математика является частью физики. :)

Грубо говоря, математика момента большого взрыва несколько отличалась от "нашей" математики

Откуда сие следует?

From:

В момент большого взрыва геометрия пространства была неевклидовой из-за очень мощных гравитационных и других взаимодействий. Опять же, относительность - для наблюдателя внутри большого взрыва, вполне возможно, геометрия была евклидова, параллельные прямые не пересекались, 2*2=4, гравитация и электромагнитные явления работали "правильно". Но вот для "внешнего" наблюдателя - все могло быть совсем иначе. И, кстати, отдельный философский вопрос - был ли возможен внешний наблюдатель и что было снаружи той точки, где произошел большой взрыв, до момента большого взрыва?..

From:

Она и сейчас неевклидова (точнее, может быть описана таким образом в рамках ОТО). Это как-то меняет арифметику?

Параллельные прямые в любом случае не пересекаются. Пересекаться могут параллельные геодезические, и Большой Взрыв тут, вообще говоря, тоже не при чем. Вы как-то смешиваете воедино модель и математический аппарат для работы с ней, причем, что забавно, относите все это к моменту, который сам по себе является в первую очередь артефактом модели (возможно, и имеющим физический смысл, а возможно - и нет).

From:

> Более того, математика - это одно из свойств физических явлений

Это неверно. Математика -- это принятый нами язык описания физических явлений и конструирования моделей, а вовсе не их свойство.

From:

Меня шесть лет в институте пытались учить математике настолько, что даже в дипломе в описании специальности есть "математик" :-)
Количество определений "что такое математика" - пожалуй одно из самых больших для научной дисциплины.
Очень большие куски математики уже не относятся к моделированию физических процессов, а чисто для красоты построений и рассуждений. Та же современная теория множеств имеет уже следовые количества физического смысла.
С другой стороны, математика вполне заметным образом влияет на физику. Вспомнить, хотябы, исходную формулировку закона Ома (согласно студенческому фольклеру): "если в специально сконструированной электрической цепи произвести серию измерений, то, после внесения соответствующих поправок, выяснится, что ток в цепи приблизительно пропорционален напряжению и приблизительно обратно пропорционален сопротивлению". А сейчас что? I=U/R. И, что интересно, никаких поправок вводить не надо и совпадает на довольно больших сериях измерений. Причем, исходно говорилось, что зависимость нелинейная, но в последнее время говорится, что для металлов и их сплавов зависимость линейная в достаточно широком диапазоне значений. И вот и думай после этого, толи приборы стали такие точные, толи физика явлений поменялась за последние 200 лет?

From:

Я имел ввиду математику в приложении к физике, а не математику вообще (Более того, математика - это одно из свойств физических явлений, -- Отнюдь, это лишь язык).

From:

Да, одна из частей математики - это некий формализованный язык для выражения, записи и передачи специфической информации и проведения операций над этой информацией. Но это далеко не вся математика. В приложении к физике это тоже далеко не все. Например, есть ряд чисто математических конструктов и концепций, которые позволили сдвинуть физику с мертвой точки или преодолеть непреодолимые другими способами противоречия. Та же концепция корня из минус единицы. Или квантование.

From:

Например, есть ряд чисто математических конструктов и концепций, которые позволили сдвинуть физику с мертвой точки или преодолеть непреодолимые другими способами противоречия. Та же концепция корня из минус единицы. Или квантование.

Трудно назвать квантование "чисто математической концепцией". А что именно сдвинул с мертвой точки и т.п. корень из минус единицы?

From:

математическая концепция, которая позволила "избежать" тепловой смерти вселенной.
А корень из минус единицы - очень нужная штука в квантовой механике, в дифференциальных уравнениях, описывающих массу физических процессов, в теории вероятности, которая является инструментом, опять же, в куче разделов физики.
Кстати, интересное наблюдение, которое может говорить о том, что математика - все же естественная наука: согласно официальным годам жизни, начало ТФКП случилось в 18-м веке, большая часть теорем и способов работы с комплесной переменной были сформированы и доказаны к середине 19-го века, а реальное массовое применение этого аппарата в физике началось уже где-то в конце 19 начале 20-го века. Необычно. Все же как-то привычнее считать, что новые данные из физики вызывают разработку новых методов в математике.

From:

И как она позволила это сделать? Да и зачем, кстати?

Да, штука очень полезная. Как и вся математика - как инструмент. В частности, в любом описании от функций комплексной переменной можно избавиться. Это будет неудобно, но все же вполне возможно.

From:

... был бы... Хотя, немало своих достижений достиг не зная всего, что должен был теоретически знать для их достижения :-)
На самом деле, окружающий мир устроен намного проще, чем принято считать :-)
Но. Одна из легенд научного околофизического сообщества состоит в том, что постоянная Планка Планком исходно была изобретена в качестве константы, домножив на которую один из параметров популярной на тот момент модели мироустройства, система "вселенная" становилась стабильной и не происходило "тепловой смерти". А уже потом обнаружилось, что эта постоянная применима и необходима в вычислении зависимостей энергии от частоты для элементарных частиц.
По поводу комплексной переменной... Может быть в "описании" от нее и можно избавиться, но вот ряд задач из теории вероятностей и теории оптимального управления без комплексного переменного не имеет решения. Ну или такое решение пока не найдено. (вы меня извините, я хоть и "математик" немного согласно диплому, но это было больше 20 лет назад :-) всех деталей в 4:04 не помню, а гуглить - лень :-) )

From:

Это не более чем легенда. Странная, впрочем, даже в качестве легенды, поскольку неверна с точки зрения физики (не только современной, но и времен Планка тоже). Вы, случаем, "тепловую смерть Вселенной" с "ультрафиолетовой катастрофой" не перепутали?

Дело не в деталях. Подобная ситуация, вообще говоря, невозможна: все результаты, полученные в рамках ТФКП, допускают переформулировки, в которых комплексные числа явно упоминаться не будут (грубо говоря, каждая комплексная переменная переделывается в пару вещественных). Это, конечно, неудобно, но вполне реально. Как следствие, решение у задач есть, просто его сложнее найти.

From:

>Н апример, есть ряд чисто математических конструктов и концепций, которые позволили сдвинуть физику с мертвой точки или преодолеть непреодолимые другими способами противоречия.

Даже если допустить, что это так (а это не так), это не противоречит тому, что математика -- язык. Появился язык -- появилась возможность описать на нем то, что раньше описать было нельзя или сложно.

> Та же концепция корня из минус единицы.

Вы меня извините, но это все равно, что сказать, что таблица умножения позволила сдвинуть физику с мертвой точки. Оказался аппарат комплексных чисел удобным -- стали использовать.

From:

Есть ряд задач, которые без комплексного переменного, например, просто не решаются на современном уровне развития математики и физики.
И еще раз скажу ((с) Козьма Прутков), язык - это лишь одна из частей математики. Там еще есть несколько подходов к доказательствам. А еще же есть раздел "логика", которая тоже может быть разная. И от этого тоже меняются результаты применения языка "математики". А еще есть разные подходы к аксиоматике, которая лежит в основе всего. И есть основания полагать, что не все аксиомы, лежащие в основе математики, преподаваемой в школе и университетах, являются истинными. Более того, есть несколько весьма полезных направлений в математике, которые построены на "а давайте допустим что вот эта аксиома не является аксиомой."

И да, таблица умножения - сильно изменила тогдашнюю физику. Еще буквально 200 лет назад очень многие "ученые" не использовали концепцию нуля. (какая там нафиг бесконечность?) И, что кажется еще более парадоксальным, не использовали единицу в вычислениях. От слова "совсем". И да, появление математики с нулями, единицами и бесконечностями позволило сдвинуть с метрвой точки практически все "естественные науки".

From:

Вы обладаете удивительной способностью валить все в одну кучу :)

Мы начали с того, как математика относится к физике (помните ваше: математика - это одно из свойств физических явлений). Я возражаю, что математика для физики -- это язык, познавательный аппарат (это не одно и то же, но, как известно, язык определяет сознание). Причем, язык не единственный. Качественные описания играют в физике не меньшую роль, в чем меня убедил pphantom в соседней ветке.

Математика вообще -- это гораздо более широкое понятие, в которое входят и различные математические дисциплины, и методы, и университетские курсы и прочее. Но основное все же -- это познавательный аппарат. И если вернуться к теме моей записи, то этот познавательный аппарат используется одинаково и в физике и в чистой математике, только прилагается к объектам разной природы.

Про аксиомы Вы и вовсе написали оксюморон. Аксиома -- она по определению истинная. Более аккуратно говорить, что можно строить разные аксиоматические теории, и тогда утверждения, которые являются аксиомами в одной теории, могут быть неверными в другой теории. То же самое насчет неклассических логик.

Ноль стал использоваться в Европе с XV века, а актуальная бесконечность не позднее Ньютона с Лейбницем. Поэтому насчет 200 лет назад Вы несколько преувеличили. Знаменитой формуле Эйлера и той уже 300 лет :)

Мне кажется, что за 20 лет у Вас немного все перемешалось. У меня тоже в дипломе 15 лет назад написано "математик", и я отчетливо понимаю, что еще 5 лет назад я математику чувствовал лучше, чем сейчас. Увы, без практики все теряется.

From:

> и в ее истории было не так уж мало случаев, когда в той или иной области моделирование как таковое попросту отсутствовало, дело сводилось лишь к сбору и, возможно, некоторому обобщению экспериментальных фактов.

То же самое можно сказать и про математику когда-то. Вон, Кордано и ему подобные просто пытались решать уравнения третьей и более высоких степеней. Без всяких моделей и теорий. Модели и теории появились много позже.

Поэтому имеет смысл говорить о современной математике и физике, конечно.

From:

Современная физика в этом отношении не изменилась: работа с моделями в ней по-прежнему не является основной.

From:

Хм. Наука определяется теориями и их предсказательной силой. Теорию невозможно создать без моделей. Модели невозможно создать без экспериментальных данных, к которым они привязаны. На каждом уровне объем "работы" может меняться на порядок. С этой точки зрения экспериментальная работа в физике основная. Но наукой физику делает не это, а физические теории. В чем я неправ?

From:

Наука определяется теориями и их предсказательной силой.

Только предсказательной силой. А возникла она в результате развития теории или определяется удачными скачками с бубном - несущественно.

Теорию невозможно создать без моделей.

Вообще говоря, тоже нет. Чисто эмпирические теории встречаются достаточно часто.

Но наукой физику делает не это, а физические теории.

В том-то и дело, что нет. Наука - это способ логически неправомерного :) обобщения экспериментальных данных на другие похожие случаи. Теории позволяют улучшить критерии похожести, увеличив эффективность этого процесса, но обязательными не являются.

From:

То есть Вы хотите сказать, что какой-нибудь оракул, с хорошей предсказательной силой -- это наука? Или предсказывание погоды по приметам? Мне все же кажется, что именно систематизация знаний в форме теории делает науку наукой. Есть ли пример науки, где предсказательная сила обуславливалась бы не теорией, а чем-нибудь еще?

Насчет не необходимости соглашусь. Есть теории, построенные как эмпирические обобщения, но по-моему в современной физике таких нет. Или есть?

Все же вернемся к физике. Я могу, конечно, ошибаться, но физика стала наукой именно тогда, когда появились физические теории. До этого физику не слишком отличали от философии.

From:

Оракул, пожалуй, не годится, а вот предсказание погоды по приметам - вполне. Собственно, и современная метеорология далеко не всегда знает механизмы, обеспечивающие тот или иной результат, что не мешает синоптикам неплохо предсказывать погоду.

Есть ли пример науки, где предсказательная сила обуславливалась бы не теорией, а чем-нибудь еще?

Социология, экономика, психология. Во всех трех полноценные теории (не являющиеся в большой степени эмпирикой) либо практически отсутствуют, либо сравнительно слабо развиты.

Есть теории, построенные как эмпирические обобщения, но по-моему в современной физике таких нет.

Есть, и очень много. Вы, по-видимому, совершаете типовую ошибку (впрочем, вполне естественную из-за специфики популяризации), относя к "современной физике" только некоторые разделы физики высоких энергий. На самом деле это небольшая часть физики, причем как раз ее теоретические разделы в контексте нашей беседы являются исключительно неудачным примером, поскольку уже достаточно давно являются в большей степени математикой, чем физикой.

А вообще эмпирические обобщения совершенно типичны для геофизики, астрофизики, биофизики, физики полимеров, физики твердого тела и т.д и т.п. - в общем, практически для всех разделов, где получение экспериментальных или наблюдательных данных является сравнительно дешевой процедурой. Все меняется, когда, условно говоря, на один экспериментальный результат приходится полторы тысячи теоретиков, но это скорее вынужденная ненормальность, чем естественное состояние дел.

Все же вернемся к физике. Я могу, конечно, ошибаться, но физика стала наукой именно тогда, когда появились физические теории. До этого физику не слишком отличали от философии.

Обычно считается, что наука в современном смысле слова (причем не математика и не философия) возникла как результат более-менее четкой формулировки идеи эмпиризма Бэконом. А первые более-менее "модельные" физические теории возникли в XVIII веке.

From:

Гуманитарные науки мы тут обсуждать не будем. Конечно, речь о естественных.

Если я и совершаю ошибку, обобщая мои знания о физике на физику вообще, то это вина школы и университета :) Вся школьная физика, и физика в нефизических ВУЗах, -- это физика, подкрепленная математическим теориями: механика от Ньютона до ОТО, плюс электродинамика, оптика и т.д.. Поэтому для мне удивительно слышать, что в наше время есть еще какая-то другая, "не математическая" физика. То есть я понимаю, что возможны качественные описательные теории, в той же астрофизике, но как только возникает желание что-то описать количественно, то сразу математические модели.

Мне правда интересно, какие есть эмпирические теории в перечисленных Вами областях физики. Я читал Вернадского, он действительно предлагал эмпирические геофизические теории, но это же было 100 лет назад.

From:

Все же гуманитарные науки - тоже науки. :)

Да, вполне возможно. Обычно принято делать упор в изучении физики именно на модели - так просто проще, да и просто наличие хорошей модели означает существование компактного описания, которое можно достаточно быстро изложить. В случае университета, наверное, сказалась еще и специфика факультета: если уж физика для чего-то понадобится, то, скорее всего, столкнуться придется именно с моделями.

Ну, например, в геофизике/геологии по большому счету нет теорий формирования месторождений полезных ископаемых, хотя соответствующие попытки (в первую очередь для нефтяных и угольных) делались неоднократно, обходятся геологоразведкой и эмпирическими соображениями, мало отличающимися от поиска "по приметам". В астрофизике качественно достаточно неплохо понятны причины вспышек сверхновых звезд, однако приличных количественных теорий нет, и даже с попытками численного моделирования соответствующего процесса все в целом плохо. Механизмы генерации магнитного поля (например, Земли или Солнца) качественно понятны, но количественных моделей нет или они неудачны. Есть некоторые теории сверхпроводимости, но у всех есть серьезные известные проблемы, и в целом проще сказать, что более-менее нормальной теории нет (хотя знаем мы об этом явлении весьма много). И т.д. и т.п.

From: