Математика как естественная наука

[kaipa]

Потратил полночи и получил огромное удовольствие, следуя за мыслью schwalbeman и его оппонентов и собеседников.

Математика как естественная наука

Математика как естественная наука 2

Основная полемика разворачивается с философом Болдачевым, который на протяжении многих лет искусно и последовательно отстаивает в ЖЖ позицию, что математика -- не наука (в том смысле, что математические теории не фальсифицируемы, так как изучают идеальные конструкции внутри самой математики). Несколько лет назад я с ним тоже полемизировал на эту тему в журнале у И-П, но на куда более примитивном уровне (мне тогда казалось, что этого достаточно). Наверное, рано или поздно он каждого попытался обратить в свою веру :)

Основной тезис schwalbeman (интересно, это переводится как заглатывающий?) состоит в том, что математика изучает математические объекты точно так же, как физика -- объекты реального мира. Математика, как и физика, строит математические модели для изучения свойств объектов, и соответствие между моделями и объектами отнюдь не тождественное. Различие между математикой и физикой только в природе объектов. Поэтому если физика естественная наука -- то и математика такая же естественная. Уточнению деталей этой аналогии и ее применимости посвящена основная дискуссия.

Кстати, это понимание полностью согласуется с тем, что приводит Манин в книге "Математика как метафора": "мы изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами"

P.S. Спасибо ninaofterdingen за наводку на интереснейший журнал. Как же я его раньше-то пропустил!?

Comments

Re: Можно спорить, но не буду.

[ushastyi.livejournal.com]

Я имел ввиду математику в приложении к физике, а не математику вообще (Более того, математика - это одно из свойств физических явлений, -- Отнюдь, это лишь язык).

Вот с этим надо аккуратнее.

[o-iv.livejournal.com]

Да, одна из частей математики - это некий формализованный язык для выражения, записи и передачи специфической информации и проведения операций над этой информацией. Но это далеко не вся математика. В приложении к физике это тоже далеко не все. Например, есть ряд чисто математических конструктов и концепций, которые позволили сдвинуть физику с мертвой точки или преодолеть непреодолимые другими способами противоречия. Та же концепция корня из минус единицы. Или квантование.

Re: Вот с этим надо аккуратнее.

[pphantom.livejournal.com]

Например, есть ряд чисто математических конструктов и концепций, которые позволили сдвинуть физику с мертвой точки или преодолеть непреодолимые другими способами противоречия. Та же концепция корня из минус единицы. Или квантование.

Трудно назвать квантование "чисто математической концепцией". А что именно сдвинул с мертвой точки и т.п. корень из минус единицы?

Исходно квантование - это...

[o-iv.livejournal.com]

математическая концепция, которая позволила "избежать" тепловой смерти вселенной.
А корень из минус единицы - очень нужная штука в квантовой механике, в дифференциальных уравнениях, описывающих массу физических процессов, в теории вероятности, которая является инструментом, опять же, в куче разделов физики.
Кстати, интересное наблюдение, которое может говорить о том, что математика - все же естественная наука: согласно официальным годам жизни, начало ТФКП случилось в 18-м веке, большая часть теорем и способов работы с комплесной переменной были сформированы и доказаны к середине 19-го века, а реальное массовое применение этого аппарата в физике началось уже где-то в конце 19 начале 20-го века. Необычно. Все же как-то привычнее считать, что новые данные из физики вызывают разработку новых методов в математике.

Re: Исходно квантование - это...

[pphantom.livejournal.com]

И как она позволила это сделать? Да и зачем, кстати?

Да, штука очень полезная. Как и вся математика - как инструмент. В частности, в любом описании от функций комплексной переменной можно избавиться. Это будет неудобно, но все же вполне возможно.

Чтоб я знал все...

[o-iv.livejournal.com]

... был бы... Хотя, немало своих достижений достиг не зная всего, что должен был теоретически знать для их достижения :-)
На самом деле, окружающий мир устроен намного проще, чем принято считать :-)
Но. Одна из легенд научного околофизического сообщества состоит в том, что постоянная Планка Планком исходно была изобретена в качестве константы, домножив на которую один из параметров популярной на тот момент модели мироустройства, система "вселенная" становилась стабильной и не происходило "тепловой смерти". А уже потом обнаружилось, что эта постоянная применима и необходима в вычислении зависимостей энергии от частоты для элементарных частиц.
По поводу комплексной переменной... Может быть в "описании" от нее и можно избавиться, но вот ряд задач из теории вероятностей и теории оптимального управления без комплексного переменного не имеет решения. Ну или такое решение пока не найдено. (вы меня извините, я хоть и "математик" немного согласно диплому, но это было больше 20 лет назад :-) всех деталей в 4:04 не помню, а гуглить - лень :-) )

Re: Чтоб я знал все...

[pphantom.livejournal.com]

Это не более чем легенда. Странная, впрочем, даже в качестве легенды, поскольку неверна с точки зрения физики (не только современной, но и времен Планка тоже). Вы, случаем, "тепловую смерть Вселенной" с "ультрафиолетовой катастрофой" не перепутали?

Дело не в деталях. Подобная ситуация, вообще говоря, невозможна: все результаты, полученные в рамках ТФКП, допускают переформулировки, в которых комплексные числа явно упоминаться не будут (грубо говоря, каждая комплексная переменная переделывается в пару вещественных). Это, конечно, неудобно, но вполне реально. Как следствие, решение у задач есть, просто его сложнее найти.

Re: Вот с этим надо аккуратнее.

[ushastyi.livejournal.com]

>Н апример, есть ряд чисто математических конструктов и концепций, которые позволили сдвинуть физику с мертвой точки или преодолеть непреодолимые другими способами противоречия.

Даже если допустить, что это так (а это не так), это не противоречит тому, что математика -- язык. Появился язык -- появилась возможность описать на нем то, что раньше описать было нельзя или сложно.

> Та же концепция корня из минус единицы.

Вы меня извините, но это все равно, что сказать, что таблица умножения позволила сдвинуть физику с мертвой точки. Оказался аппарат комплексных чисел удобным -- стали использовать.

Если б все было так просто...

[o-iv.livejournal.com]

Есть ряд задач, которые без комплексного переменного, например, просто не решаются на современном уровне развития математики и физики.
И еще раз скажу ((с) Козьма Прутков), язык - это лишь одна из частей математики. Там еще есть несколько подходов к доказательствам. А еще же есть раздел "логика", которая тоже может быть разная. И от этого тоже меняются результаты применения языка "математики". А еще есть разные подходы к аксиоматике, которая лежит в основе всего. И есть основания полагать, что не все аксиомы, лежащие в основе математики, преподаваемой в школе и университетах, являются истинными. Более того, есть несколько весьма полезных направлений в математике, которые построены на "а давайте допустим что вот эта аксиома не является аксиомой."

И да, таблица умножения - сильно изменила тогдашнюю физику. Еще буквально 200 лет назад очень многие "ученые" не использовали концепцию нуля. (какая там нафиг бесконечность?) И, что кажется еще более парадоксальным, не использовали единицу в вычислениях. От слова "совсем". И да, появление математики с нулями, единицами и бесконечностями позволило сдвинуть с метрвой точки практически все "естественные науки".

Re: Если б все было так просто...

[ushastyi.livejournal.com]

Вы обладаете удивительной способностью валить все в одну кучу :)

Мы начали с того, как математика относится к физике (помните ваше: математика - это одно из свойств физических явлений). Я возражаю, что математика для физики -- это язык, познавательный аппарат (это не одно и то же, но, как известно, язык определяет сознание). Причем, язык не единственный. Качественные описания играют в физике не меньшую роль, в чем меня убедил pphantom в соседней ветке.

Математика вообще -- это гораздо более широкое понятие, в которое входят и различные математические дисциплины, и методы, и университетские курсы и прочее. Но основное все же -- это познавательный аппарат. И если вернуться к теме моей записи, то этот познавательный аппарат используется одинаково и в физике и в чистой математике, только прилагается к объектам разной природы.

Про аксиомы Вы и вовсе написали оксюморон. Аксиома -- она по определению истинная. Более аккуратно говорить, что можно строить разные аксиоматические теории, и тогда утверждения, которые являются аксиомами в одной теории, могут быть неверными в другой теории. То же самое насчет неклассических логик.

Ноль стал использоваться в Европе с XV века, а актуальная бесконечность не позднее Ньютона с Лейбницем. Поэтому насчет 200 лет назад Вы несколько преувеличили. Знаменитой формуле Эйлера и той уже 300 лет :)

Мне кажется, что за 20 лет у Вас немного все перемешалось. У меня тоже в дипломе 15 лет назад написано "математик", и я отчетливо понимаю, что еще 5 лет назад я математику чувствовал лучше, чем сейчас. Увы, без практики все теряется.