On Numbers And Games
Apr. 7th, 2011 02:36 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
kaipaПрочитал вскользь "On Numbers And Games" Джона Конвея. Математическая классика. Книга состоит из двух частей: нулевой и первой (почему так -- позже). В нулевой части Конвей оригинальным образом вводит числа, индукцией от пустого множества до сюрреальных чисел и доказывает много занимательных свойств. В первой же части Конвей рассматривает много различных игр (в математическом смысле, но многие из них очень даже реальны), и оказывается что игры удобно рассматривать как числа, введенные в нулевой части. Это кардинально отличается от теории игр, как мне ее преподавали в университете. Конечно, я на те лекции ходил через раз, они были не особо интересны, но общие идеи помню.
В коротенький пост трудно уместить емкую и непростую книжку, поэтому я ограничусь лишь предельно простым изложением основной идеи "нулевой" части.
Все числа конструируются одинаково: если L и R множества чисел такие, что ни один из элементов L не >= любого элемента R, то существует число x = {L | R}. {L | R} -- представление числа x. Будем также использовать нотацию {xL | xR}, где xL -- произвольный элемент L, и xR -- произвольный элемент R.
Все. Для разных L и R получаются разные числа. Необходимо теперь определить основные операции.
x>=y тогда и только тогда, когда ни для какого xR, не верно xR<=y, и ни для какого yL, не верно x<=yL.
x<=y, если не выполняется x>=y
x=y, тогда и только тогда, когда x>=y и x<=y.
Так как равенство вводится тоже как отношение, то одно и то же число может иметь разные представления {L | R}.
Сложение: x + y = {xL + y, x + yL | xR+y, x+yR}
Отрицание: -x = { -xR | -xL}
Умножение сложнее: xy = {xLy + xyL - xLyL, xRy + xyR - xRyR | xLy + xyL - xLyR, xRy + xyR - xRyL}
Нетрудно проверить, что оно удовлетворяет свойствам обычного умножения.
Как же теперь получить наши обычные числа? Очень просто.
0 = { | }, то есть L и R -- пустые множества.
1 = {0 | },
-1 = { | 0}
2 = {1 | },
1/2 = {0 | 1}
и далее по индукции легко получить все целые числа и произвольные комбинации двоичных дробей. Уже неплохо: Проверим, насколько такие числа совпадают с обычными, используя правила сложения и умножения представлений:
1+1 = {0+1, 1+0|} = {1| } = 2
2+2 = {1+2, 2+1|} = {3| } = 4
2*2 = {1*2 + 2*1 - 1*1| } = {3| }=4
Работает! Похожим образом легко получить все дроби.
Произвольное рациональное число по определению: x = {x - (1/n), x + (1/n)}, где n пробегает все положительные целые числа. Доказывается, что любое рациональное число действительно может быть так представлено.
Аналогичным образом вводятся ординалы или трансфинитные числа: a={L | }. Если взять в качестве L множество действительных чисел, то получится число, которое больше любого действительного. Но и это не предел, так как процесс можно продолжать. Таким образом различного рода бесконечности появляются сами собой. Множество, вернее, класс чисел становятся гораздо более богатым, чем мы привыкли. Хотя и не без "дыр". Именно этот класс, включающий в себя "обычные" числа и бесконечные, называется классом сюрреальных чисел. Буду признателен, если кто-нибудь подскажет, есть ли лучшее русское название.
В принципе это все. Конвей еще доказывает ряд теорем о свойствах и структуре класса сюрреальных чисел, сконструированного таким образом, и показывает как на таких числах работает алгебра и анализ, но это уже несущественно.
(продолжение следует)
В коротенький пост трудно уместить емкую и непростую книжку, поэтому я ограничусь лишь предельно простым изложением основной идеи "нулевой" части.
Все числа конструируются одинаково: если L и R множества чисел такие, что ни один из элементов L не >= любого элемента R, то существует число x = {L | R}. {L | R} -- представление числа x. Будем также использовать нотацию {xL | xR}, где xL -- произвольный элемент L, и xR -- произвольный элемент R.
Все. Для разных L и R получаются разные числа. Необходимо теперь определить основные операции.
x>=y тогда и только тогда, когда ни для какого xR, не верно xR<=y, и ни для какого yL, не верно x<=yL.
x<=y, если не выполняется x>=y
x=y, тогда и только тогда, когда x>=y и x<=y.
Так как равенство вводится тоже как отношение, то одно и то же число может иметь разные представления {L | R}.
Сложение: x + y = {xL + y, x + yL | xR+y, x+yR}
Отрицание: -x = { -xR | -xL}
Умножение сложнее: xy = {xLy + xyL - xLyL, xRy + xyR - xRyR | xLy + xyL - xLyR, xRy + xyR - xRyL}
Нетрудно проверить, что оно удовлетворяет свойствам обычного умножения.
Как же теперь получить наши обычные числа? Очень просто.
0 = { | }, то есть L и R -- пустые множества.
1 = {0 | },
-1 = { | 0}
2 = {1 | },
1/2 = {0 | 1}
и далее по индукции легко получить все целые числа и произвольные комбинации двоичных дробей. Уже неплохо: Проверим, насколько такие числа совпадают с обычными, используя правила сложения и умножения представлений:
1+1 = {0+1, 1+0|} = {1| } = 2
2+2 = {1+2, 2+1|} = {3| } = 4
2*2 = {1*2 + 2*1 - 1*1| } = {3| }=4
Работает! Похожим образом легко получить все дроби.
Произвольное рациональное число по определению: x = {x - (1/n), x + (1/n)}, где n пробегает все положительные целые числа. Доказывается, что любое рациональное число действительно может быть так представлено.
Аналогичным образом вводятся ординалы или трансфинитные числа: a={L | }. Если взять в качестве L множество действительных чисел, то получится число, которое больше любого действительного. Но и это не предел, так как процесс можно продолжать. Таким образом различного рода бесконечности появляются сами собой. Множество, вернее, класс чисел становятся гораздо более богатым, чем мы привыкли. Хотя и не без "дыр". Именно этот класс, включающий в себя "обычные" числа и бесконечные, называется классом сюрреальных чисел. Буду признателен, если кто-нибудь подскажет, есть ли лучшее русское название.
В принципе это все. Конвей еще доказывает ряд теорем о свойствах и структуре класса сюрреальных чисел, сконструированного таким образом, и показывает как на таких числах работает алгебра и анализ, но это уже несущественно.
(продолжение следует)
