kaipa: (Default)
[personal profile] kaipa
Статья в википедии о Вильгельме Киллинге предельно лаконична. Мол, был такой немецкий математик, сделал важный вклад в теорию групп Ли. И все. Вроде бы ничего интересного, мало ли было немецких математиков на рубеже 20 века.

Однако, если нам попадется список лауреатов престижной математической премии Лобачевского, то мы с удивлением видим, что Киллинг получил эту премию вторым в истории, вклинившись между такими грандами как Софус Ли (тот самый, который придумал алгебры и группы Ли, и вовсе не китаец, а норвежец) и Дэвид Гильберт (представлять последнего, надеюсь, не надо). Чем же скромный немецкий математик, имени которого никто не знает, заслужил такое признание больше века назад? И почему оказался забыт?

Киллинг -- типичный провинциал, его отец был мэром небольших немецких городков Мадебаха, Винтербега и Рутена. Познакомившись в гимназии с математикой, Вильгельм поступил в университет Мюнстера, а на старших курсах переехал в Берлин, где защитил диссертацию по геометрии поверхностей под руководством Веерштрасса. После защиты он занимался преподаванием в незначительных университетах, в том числе в небольшом и далеком от математике городе Брансберге, где он и написал свою едва ли не единственную, но самую важную математическую работу.

А сделал он очень важную вещь. Он классифицировал простые группы Ли. Если вы перешли по ссылке на википедию, то и там вы не обнаружите фамилии Киллинга, а только другого математика -- Эли Катрана. И только посмотрев на заметку пропростую группу E8 размерности 248, можно найти Киллинга. Тем не менее, именно Киллинг первым выделил и описал простые группы Ли, а француз Эли Катран развил и уточнил результаты Киллинга несколькими годами позднее, воздавая, впрочем, дань первенства безвестному немецкому математику. Но его имя осталось, а Киллинга -- практически нет.

В чем же значение результатов Киллинга? Группы Ли -- это некоторые фундаментальные свойства очень абстрактных математических структур. Они возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, вращение круга вокруг центра -- это непрерывная симметрия вращения, движение плоскости -- другая симметрия и т.д. Набор симметрий определяет геометрию. Классическая евклидова геометрия порождается вполне конкретной группой Ли. Оказалось, что все такого рода симметрии, то есть фундаментальные преобразования абстрактных математических объектов, можно классифицировать. И классов ровно 4, плюс 5 особых случаев: специальные группы G2 размерности 14, F4 размерности 52, E6 размерности 78, E7 размерности 133, и уже упоминавшаяся группа E8 размерности 248. Все возможные непрерывные симметричные преобразования и вытекающие из них геометрии укладываются в 4 класса плюс эти 5 особых случаев. Результат на самом деле шокирующий. Именно поэтому Киллинг медлил с публикацией, встречался с Ли, но тот его высмеял. Чтобы дать какой-нибудь аналог, представьте, что можно было бы построить кубы размерности 1, 2, 3, 4 итд, пирамиды размерности 1, 2, 3, 4 итд, но, например, тетраэдры ТОЛЬКО размерности 14, а октаэдры ТОЛЬКО размерности 52 и т.д.. Нонсенс? Да. И тем не менее в группах Ли все так и обстоит. Это УДИВИТЕЛЬНЕЙШЕЕ математическое явление, и вывел и обосновал его именно Вильгельм Киллинг.

Задумайтесь на секунду, вот физики задаются вопросом, почему масса протона ровно в 1800 с чем-то там раз больше, чем масса электрона. Разумный вопрос. Но на него можно как-то отвертеться: мол, так устроена природа, хотя физиков такой ответ не устраивает. Но математика, особенно теория групп -- это вроде чистая абстракция. И тем не менее, похожий вопрос, откуда эти "специальные" группы? Почему именно такие, с такими размерностями, а не другие? Ответ "природа" уже не проходит даже для не-математика. И тем не менее.


Еще раз группа Е8, использующаяся, например в "Исключительно простой теории всего" Гаррета Люси

Будучи человеком не абмициозным и убежденным католиком, Киллинг не стал никому ничего доказывать, да и сам не считал свой результат таким уж выдающимся. Вместе с женой вступил в орден францисканцев и занялся лечением душ.

В заключение хочу привести еще один любопытный математический факт, который тоже следует из теории групп. Известно упражнение античности о построении правильных N-угольников при помощи циркуля и линейки. Треугольник, квадрат, шестиугольник -- все это умели еще в Древней Греции. Но, например, не 7ми угольник. На рубеже 19века Гаусс доказал, что построение возможно тогда и только тогда, когда N=2,3,4,5,17(!),257(!!) и 65537(!!!) либо любое произведение этих чисел. Опять магия очень странных чисел. Правильный 65537-угольник был даже "построен" в диссертации Йоханна Эрмеса, на которую он героически потратил 10 лет и 200 страниц. Американский математик Джон Конвей (автор игры "Жизнь"), вероятно, один из немногих, кто читал этот монументальный труд, и обнаружил в нем ошибки.

P.S. Сталкиваясь с такими случаями, я понимаю, какой огромный пробел существует в моем математическом образовании. Теория групп -- это основа сущего, в прямом и переносном смысле. Не случайно она описывает и удивительные математические абстракции, и мир элементарных частиц.

Profile

kaipa: (Default)
kaipa

April 2017

S M T W T F S
       1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
30      

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 11th, 2025 02:45 am
Powered by Dreamwidth Studios