Фрактальная логика
Apr. 6th, 2009 05:47 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
kaipaНесмотря на схожесть названия с предыдущим постом, тема этого кардинально другая. Если фрактальная археология пытается применять методы фрактальной геометрии и хаотической динамики к археологическим исследованиям, то фрактальная логика -- это, новый, еще не совсем устоявшийся термин, попытка расширить концепцию фрактала, обобщить его идею на совершенно другую область -- процессы мышления.
На русском языке существует только одна книга, посвященная фрактальной логике, автор -- Тарасенко В.В., занимающийся проблемами самоорганизации и примерении фракталов в методологии науки. Его книга мне и попалась на глаза, а по горячим следам в Интернете нашел еще несколько статей, ссылки на которые даю в конце.
Зачем же вообще нужна фрактальная логика?
Введение новых понятий всегда диктуется необходимостью. Точно так же как фракталы и фрактальная геометрия возникли из необходимости описывать и анализировать "плохие" математические объекты, которые составляют большую часть окружающего нас мира, так и фрактальная логика -- это аппарат для изучения "нелогичных" с точки зрения традиционных логических дисциплин явлений. Исследования процессов человеческого мышления и попытки создания искусственного интеллекта приводят к выводу, что человек часто мыслит нелогично, и при этом не только легко избегает логических противоречий, но и "нелогично" решения алгоритмически, т.е. логически, неразрешимыз проблем..
Лирическое отступление
Математика (да и другие дисциплины) имеет вполне естественную склонность изучать "удобные "объекты и описывать с их помощью окружающий нас мир. Неудобные объекты и явления либо отвергаются, либо отодвигаются как бы на задний план как несущественные. Но нередко впоследствии оказывается, что мир гораздо сложнее, чем кажется, и эта сложность заключается как раз в тех самых объектах и явлениях, которые раньше считались несущественными.. Самая простая иллюстрация этого принципа -- история теории чисел. Греки признавали только целые и рациональные числа, а примеры иррациональностей, типа корня из двух, считали неправильными. В средние века иррациональные числа получили свое признание, но появилось новое понятие: алгебраические числа, т.е. корни многочленов. Неалгебраические числа стали называть трансцедентыми. Вначале относились к ним, как к диковинкам, но в 19 веке оказалось, что трансцедентных чисел даже "больше", чем алгебраических, несмотря на то, что их непросто "находить". В 20 веке подобная метаморфоза произошла с понятием вычислимых чисел.
История геометрии демонстрирует похожее развитие. Классическая геометрия Евклида обобщается дифференциальной геометрией в одну сторону и фрактальной -- в другую. Анализ -- развивается в сторону обобщения, с разных сторон подоходя к вопросу нелинейности. Физика проходит путь от Ньютоновой механики через теорию относительности к теории суперструн или теории всего.
Логика и ее применение в математике, т.е. само основание математики, оказались в кризисе на рубеже 19 и 20 века, и он еще более усугубился в 30е годы. Началось с канторовской теории множеств и логических парадоксов, которые она породила. Попытка Дэвида Гильберта и некоторых других математиков и логиков формализовать математику и теорию доказательств так, чтобы теоремы могли быть доказаны чисто механически, путем строгих логических преобразований аксиом и ранее доказанных теорем, натолкнулась на большие трудности и неприятие многих математиков, например, Анри Пуанкаре. Парадоксы и недоказуемые утверждения разрушали стройные на вид системы. Бертран Рассел попытался в своей теории типов построить непротиворечивую модель, которая бы разрешала в себе классические парадоксы, но вряд ли эта попытка может считаться вполне успешной. Крышку в гроб логики забил Курт Гедель своей знаменитой теоремой о неполноте. А Тьюринг чуть позднее добавил.
На фоне этой апокалиптической картины в метематической логике в других областях математики началось велось изучение нелинейных динамических систем и хаотической динамики, начатое еще Пуанкаре, и в результате в 70е годы Бенуа Мондельброт "придумал" фракталы и фрактальную геометрию, которая, впрочем, больше, чем геометрия, это концепция, аппарат изучения "неправильных" множеств любой природы. Как правило, фракталы порождаются динамическими системами, являясь аттракторами в пространстве состояний или бифуркациями в пространстве параметров.
Фрактальная логика. Наконец.
После долгого, но необходимого вступления, перейдем к фрактальной логике. Еще раз повторюсь, что это скорее общий принцип, который можно проиллюстрировать на примере логических рядов.
Логика -- наука очень дискретная. В ней нет кривых, зато есть ряды. Логический ряд -- это бесконечная последовательность ИЛИИЛИИ..., если мы говорим о бинарной логике, и то же самое, но менее наглядно, в К-значной. Для логических рядов можно определить аналоги аттракторов:
К сожалению, придется ввести еще несколько необходимых определений, следуя Тарасенко.
Масштаб разрешения n -- бесконечный буквенный ряд, получающийся при последовательном обозначении составляющих логический ряд разных картежей (частей) длины n буквами. Например, "ряд лжеца" в масштабе 1 выглядит как abababa..., в масштабе 2 -- aaaaaa...., в масштабе 3 -- abababa... и т.д.
Самоподобный или инвариантный относительно некоторых масштабов ряд -- это ряд, у которого как минимум два тождественных масштаба. Ряд лжеца самоподобный по четным и по нечетным масштабам.
Тривиально инвариантный на заданном масштабе ряд -- это ряд, с тождественными обозначениями кортежей на выбранном масштабе, например aaaaa...
Регулярный логический фрактал -- это самоподобный ряд у которого как минимум два нетривиальных масштаба. Например -- все тот же ряд лжеца.
Теперь есть определение, выстраивается некая теория, появилось слово "самоподобие", которое является частым атрибутом фрактала, но не совсем понятно, что с этим дальше делать. Очень просто -- ввести аналог размерности.
MC(j) -- число различных картежей масштаба j. Для ряда лжеца -- это 2 для нечетных и 1 для четных j. Если просуммировать MC(j) от 1 до N и затем устремить N к бесконечности, то получим числовой ряд, стремящийся к бесконечности. Скорость стремления к бескончености можно аппроксимировать степенным законом. Показатель степени -- это естественный аналог размерности. Для ряда лжеца, как нетрудно видеть, размерность будет равна единице. Можно также ввести понятие масштабной информации как вероятности реализации разных кортежей заданного масштаба к числу всех возможнных картежей. От информации недалеко и до энтропии. Можно ввести аналог броуновского движения и обобщенного броуновского движения для логических рядов и таким образом получить практически весь аппарат "традиционной" хаотической динамики.
Очевидно, что то, что мы взяли логический ряд, не имеет большого значения, и можно те же определения применить к любому буквенному ряду или любому явлению, которое можно закодировать буквенным рядом.
Вообще, принцип масштабирования и масштабных преобразований рядов (т.е. замены картежей определенного масштаба другими картежами в соответствии с заданной функцией преобразования) находит все больше применений. Бельгийский химик российского происхождения Илья Пригожин получил нобелевскую премию за исследования диссипативных или неравновесных структур, которые возникают в некоторых термодинамических и биологических процессах, например, в биополимерах. Несмотря на кажущуюся и теоретическую хаотичность возникающих образований оказалось, что при определенных масштабах реализуются не все возможные сочетания, которые теоретически должны быть равновероятны. При определенном масштабе в хаосе возникает структура. Случайность уступает место детерменированному хаосу.
Возникновение жизни тоже требует от природы детерминированности. Если предположить, что белки возникли случайно путем комбинации молекул и атомов, то посчитав число сочетаний и вероятность, можно обнаружить, что время случайного возникновения жизни с какой-нибудь существенной вероятностью больше возраста Вселенной. Однако, в силу определенной детерминированности, наличия структорообразующих паттернов в хаотических системах, число различных сочетаний, которые природа "пробует", существенно снижается. Вот она, рука Бога, который экспериментирует, но не методом Монте-Карло, не совсем случайно.
Человеческий мозг работает рекуррентно и легко оперирует масштабами и масштабными преобразованиями. Именно поэтому, мы легко принимаем парадокс лжеца, и вместо того, чтобы зацикливаться, просто констатируем, что это парадокс. Мы легко переходим от одной системы аксиом к другой, можем мыслить абстракциями и ассоциациями. Моделирование, редукция проблемы, абстрагирование, ассоциации -- все это примеры масщтабных преобразований, который наш мозг производит все время. Их нельзя или очень трудно описать классической логикой, но зато может быть промоделировано при помощи фракталов. Пока это лишь идеи, но некоторые параллели очевидны.
Некоторые дополнительные материалы, которых я не касался:
Две статьи Тарасенко:
Трансцедентная или фрактальная логика. Е. Попов. http://world.lib.ru/p/popow_e_w/emethaphisicsjawsedumajudoc.shtml
Фрактальная логика в книгах Пелевина: http://magazines.russ.ru/voplit/2003/4/pron.html
На русском языке существует только одна книга, посвященная фрактальной логике, автор -- Тарасенко В.В., занимающийся проблемами самоорганизации и примерении фракталов в методологии науки. Его книга мне и попалась на глаза, а по горячим следам в Интернете нашел еще несколько статей, ссылки на которые даю в конце.
Зачем же вообще нужна фрактальная логика?
Введение новых понятий всегда диктуется необходимостью. Точно так же как фракталы и фрактальная геометрия возникли из необходимости описывать и анализировать "плохие" математические объекты, которые составляют большую часть окружающего нас мира, так и фрактальная логика -- это аппарат для изучения "нелогичных" с точки зрения традиционных логических дисциплин явлений. Исследования процессов человеческого мышления и попытки создания искусственного интеллекта приводят к выводу, что человек часто мыслит нелогично, и при этом не только легко избегает логических противоречий, но и "нелогично" решения алгоритмически, т.е. логически, неразрешимыз проблем..
Лирическое отступление
Математика (да и другие дисциплины) имеет вполне естественную склонность изучать "удобные "объекты и описывать с их помощью окружающий нас мир. Неудобные объекты и явления либо отвергаются, либо отодвигаются как бы на задний план как несущественные. Но нередко впоследствии оказывается, что мир гораздо сложнее, чем кажется, и эта сложность заключается как раз в тех самых объектах и явлениях, которые раньше считались несущественными.. Самая простая иллюстрация этого принципа -- история теории чисел. Греки признавали только целые и рациональные числа, а примеры иррациональностей, типа корня из двух, считали неправильными. В средние века иррациональные числа получили свое признание, но появилось новое понятие: алгебраические числа, т.е. корни многочленов. Неалгебраические числа стали называть трансцедентыми. Вначале относились к ним, как к диковинкам, но в 19 веке оказалось, что трансцедентных чисел даже "больше", чем алгебраических, несмотря на то, что их непросто "находить". В 20 веке подобная метаморфоза произошла с понятием вычислимых чисел.
История геометрии демонстрирует похожее развитие. Классическая геометрия Евклида обобщается дифференциальной геометрией в одну сторону и фрактальной -- в другую. Анализ -- развивается в сторону обобщения, с разных сторон подоходя к вопросу нелинейности. Физика проходит путь от Ньютоновой механики через теорию относительности к теории суперструн или теории всего.
Логика и ее применение в математике, т.е. само основание математики, оказались в кризисе на рубеже 19 и 20 века, и он еще более усугубился в 30е годы. Началось с канторовской теории множеств и логических парадоксов, которые она породила. Попытка Дэвида Гильберта и некоторых других математиков и логиков формализовать математику и теорию доказательств так, чтобы теоремы могли быть доказаны чисто механически, путем строгих логических преобразований аксиом и ранее доказанных теорем, натолкнулась на большие трудности и неприятие многих математиков, например, Анри Пуанкаре. Парадоксы и недоказуемые утверждения разрушали стройные на вид системы. Бертран Рассел попытался в своей теории типов построить непротиворечивую модель, которая бы разрешала в себе классические парадоксы, но вряд ли эта попытка может считаться вполне успешной. Крышку в гроб логики забил Курт Гедель своей знаменитой теоремой о неполноте. А Тьюринг чуть позднее добавил.
На фоне этой апокалиптической картины в метематической логике в других областях математики началось велось изучение нелинейных динамических систем и хаотической динамики, начатое еще Пуанкаре, и в результате в 70е годы Бенуа Мондельброт "придумал" фракталы и фрактальную геометрию, которая, впрочем, больше, чем геометрия, это концепция, аппарат изучения "неправильных" множеств любой природы. Как правило, фракталы порождаются динамическими системами, являясь аттракторами в пространстве состояний или бифуркациями в пространстве параметров.
Фрактальная логика. Наконец.
После долгого, но необходимого вступления, перейдем к фрактальной логике. Еще раз повторюсь, что это скорее общий принцип, который можно проиллюстрировать на примере логических рядов.
Логика -- наука очень дискретная. В ней нет кривых, зато есть ряды. Логический ряд -- это бесконечная последовательность ИЛИИЛИИ..., если мы говорим о бинарной логике, и то же самое, но менее наглядно, в К-значной. Для логических рядов можно определить аналоги аттракторов:
- первого рода, если ряд сходится к какому-то одному значению.
- второго рода, если ряд сходится к периодической последовательности
- третьего рода, если ряд сходится к апериодичной последовательности
К сожалению, придется ввести еще несколько необходимых определений, следуя Тарасенко.
Масштаб разрешения n -- бесконечный буквенный ряд, получающийся при последовательном обозначении составляющих логический ряд разных картежей (частей) длины n буквами. Например, "ряд лжеца" в масштабе 1 выглядит как abababa..., в масштабе 2 -- aaaaaa...., в масштабе 3 -- abababa... и т.д.
Самоподобный или инвариантный относительно некоторых масштабов ряд -- это ряд, у которого как минимум два тождественных масштаба. Ряд лжеца самоподобный по четным и по нечетным масштабам.
Тривиально инвариантный на заданном масштабе ряд -- это ряд, с тождественными обозначениями кортежей на выбранном масштабе, например aaaaa...
Регулярный логический фрактал -- это самоподобный ряд у которого как минимум два нетривиальных масштаба. Например -- все тот же ряд лжеца.
Теперь есть определение, выстраивается некая теория, появилось слово "самоподобие", которое является частым атрибутом фрактала, но не совсем понятно, что с этим дальше делать. Очень просто -- ввести аналог размерности.
MC(j) -- число различных картежей масштаба j. Для ряда лжеца -- это 2 для нечетных и 1 для четных j. Если просуммировать MC(j) от 1 до N и затем устремить N к бесконечности, то получим числовой ряд, стремящийся к бесконечности. Скорость стремления к бескончености можно аппроксимировать степенным законом. Показатель степени -- это естественный аналог размерности. Для ряда лжеца, как нетрудно видеть, размерность будет равна единице. Можно также ввести понятие масштабной информации как вероятности реализации разных кортежей заданного масштаба к числу всех возможнных картежей. От информации недалеко и до энтропии. Можно ввести аналог броуновского движения и обобщенного броуновского движения для логических рядов и таким образом получить практически весь аппарат "традиционной" хаотической динамики.
Очевидно, что то, что мы взяли логический ряд, не имеет большого значения, и можно те же определения применить к любому буквенному ряду или любому явлению, которое можно закодировать буквенным рядом.
Вообще, принцип масштабирования и масштабных преобразований рядов (т.е. замены картежей определенного масштаба другими картежами в соответствии с заданной функцией преобразования) находит все больше применений. Бельгийский химик российского происхождения Илья Пригожин получил нобелевскую премию за исследования диссипативных или неравновесных структур, которые возникают в некоторых термодинамических и биологических процессах, например, в биополимерах. Несмотря на кажущуюся и теоретическую хаотичность возникающих образований оказалось, что при определенных масштабах реализуются не все возможные сочетания, которые теоретически должны быть равновероятны. При определенном масштабе в хаосе возникает структура. Случайность уступает место детерменированному хаосу.
Возникновение жизни тоже требует от природы детерминированности. Если предположить, что белки возникли случайно путем комбинации молекул и атомов, то посчитав число сочетаний и вероятность, можно обнаружить, что время случайного возникновения жизни с какой-нибудь существенной вероятностью больше возраста Вселенной. Однако, в силу определенной детерминированности, наличия структорообразующих паттернов в хаотических системах, число различных сочетаний, которые природа "пробует", существенно снижается. Вот она, рука Бога, который экспериментирует, но не методом Монте-Карло, не совсем случайно.
Человеческий мозг работает рекуррентно и легко оперирует масштабами и масштабными преобразованиями. Именно поэтому, мы легко принимаем парадокс лжеца, и вместо того, чтобы зацикливаться, просто констатируем, что это парадокс. Мы легко переходим от одной системы аксиом к другой, можем мыслить абстракциями и ассоциациями. Моделирование, редукция проблемы, абстрагирование, ассоциации -- все это примеры масщтабных преобразований, который наш мозг производит все время. Их нельзя или очень трудно описать классической логикой, но зато может быть промоделировано при помощи фракталов. Пока это лишь идеи, но некоторые параллели очевидны.
Некоторые дополнительные материалы, которых я не касался:
Две статьи Тарасенко:
- Метафизика фрактала: http://www.philosophy.ru/library/fm/taras.html
- Познание как случайное блуждание в мире: http://www.philosophy.ru/library/kn_book/09.html
Трансцедентная или фрактальная логика. Е. Попов. http://world.lib.ru/p/popow_e_w/emethaphisicsjawsedumajudoc.shtml
Фрактальная логика в книгах Пелевина: http://magazines.russ.ru/voplit/2003/4/pron.html
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-04-07 06:27 pm (UTC)А что за функции, что за выводы, есть какие-то примеры, кроме лжеца?
no subject
Date: 2009-04-07 08:08 pm (UTC)Выводы из всего этого скорее метафизические, чем практические. Процесс доказательства можно представить как систему с обратной связью, генерирующую логический ряд. Типа машины Тьюринга. Только проблемы остановки не существует. Ряд может зациклиться на одном масштабе, но сходиться на другом.
Вообще, это надо все обдумывать, примеров мало. Это больше идея и философия, чем практика. Тарасенко приводит результаты исследования процессов мышления разными учеными и предполагает, что эти процессы могут пораждаться фракталами. Как гипотеза.
Из примеров не из логики мне запомнился только пример исследования биополимера Пригожиным. Это бесконечная (или очень длинная) цепочка из 7 аминокислот. Оказалось, что последовательность аминокислот по-настоящему случайна только начиная с масщтаба 5. При меньших масштабах реализуются далеко не все возможности.
no subject
Date: 2009-04-09 10:50 pm (UTC)С некоторой глубоко философской точки зрения всё, конечно, сплошной фрактал. Особенно если мы не будем определять это понятие, а расширим его до полного безобразия. Ну, просто из соображений "по образу и подобию", вся вселенная -- одно сплошное самоподобие. В некотором роде.
Но это действительно философия пошла, не имеющая к математике ни какого отношения, кроме весьма свободного оперирования математическим термином.
Но с другой стороны, физическая вселенная не обладает свойствами бесконечной делимости. Всё квантовано. Так что всё бесконечное это не про реальность, а только про математику.
И, честно говоря, не вижу ничего особого в том чтобы бегать и кричать "всё фрактал". Если всё фрактал, то это просто тавтология. Другое дело, говорить что такие-то объекты при таких-то подходах проявляют фрактальные свойства. И свойства интересные, и неожиданные, с другим подходом их обнаружить сложно.
А сами по себе фрактальные свойства и их взаимоотношения проще исследовать в чистом виде на чистых математических фракталах.
В такой формулировке это мне кажется здравым подходом.
no subject
Date: 2009-04-10 06:04 am (UTC)no subject
Date: 2009-04-08 01:07 pm (UTC)И всё же до того, как этим оперировать я пока доварить не могу :)
no subject
Date: 2009-04-08 01:12 pm (UTC)БОГ -- это сокращение от "БОГ Одолевающий Гения". При последовательной расшифровке сокращений получаем бесконечно разворачивающуюся последовательность суждений, в которых слово "БОГ" оказывается бесконечным сокращением самого себя. Интересно, что в этом случае обозначает слово БОГ?
:)
no subject
Date: 2009-04-09 06:10 am (UTC)Ну или как тут было уже правильно замечено "Сидел бы себе дома, читал бы своего любимого писателя Хемингуэя" (с)..
no subject
Date: 2009-04-09 06:22 am (UTC)Математики тут ноль практически, если не лезть в детали и формальные определения. Все более-менее понятно на общем уровне. Должно быть, во всяком случае :)
no subject
Date: 2009-04-09 07:01 am (UTC)Но как раз такие вот выводы "логически понятно" меня и пугают последнее время.
no subject
Date: 2009-04-09 07:11 am (UTC)no subject
Date: 2009-04-09 08:12 am (UTC)Боюсь псевдонаучности последнее время - это болезнь интернет сообществ, да и псевдонаучные книги тоже встречались, написанные научным языком для обывателей. (примеры - множество полуфилосовских трактатов под эгидой "квантовая физика") И это при том что квантовая физика реально существует. Или например сколько направлений заговоров/кризисных суждений мы видим? Любой человек с желанием писать и ссылаться на интернет новости способен добыть факты под любую теорию... Но никак обывателю "интересующемуся" чем то узнать квалификацию и компетентность автора?
Что-то мысль моя вильнула влево, надо бы продолжить эту беседу оофлайново (((:
no subject
Date: 2009-04-09 08:23 am (UTC)В рамках SymanticWeb были попытки разработать единую систему "правдивости" интернет-контента, но до реализации еще далеко.
no subject
Date: 2009-04-09 08:30 am (UTC)РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:
Date: 2016-12-01 06:41 pm (UTC)1. «Что было раньше: яйцо или курица?»
Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РЯДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) требуется найти понятия предшествующие к каждому из них.
В РПРП для "ЯЙЦА" предшествующим является "КУРИЦА", ибо понятием «эмбрион» (или другими ) не интересующим нас по постановке вопроса мы можем пренебречь.
В РПРП для "КУРИЦА" пренебрегаемым понятием является «цыплёнок», но не «треснувшееся яйцо (из которого старается вылупиться цыплёнок)», ведь в постановке вопроса не акцентировано внимание на обязательности рассмотрения лишь яйца целостного состояния, т. е. для "КУРИЦА" предшествующим является не то понятие на котором акцентирован вопрос, а его разновидность.
ВЫВОД: "КУРИЦА"
2. Даётся понятие "Недвижущегося (Ахиллес)" , который не состоит в РПРП и отсутствие динамического состояния у которого завуалировано перемещениями, которую следуя Зенону производим и мы переставляя это понятие на предыдущие позиции в РПРП понятия "Движущегося (черепаха)" - вот в этом и вся загадка этого апория Зенона. В такой постановке вопроса даже Усейну Болта не тягаться с черепахой...