Наиболее необычный закон чисел
May. 6th, 2014 03:37 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
kaipaВ обсуждении задачи о "естественном" методе получения числа e, я обратил внимание на один из комментариев хозяина журнала:
Эйлер в моей жизни сыграл роковую роль. Я из-за него математику бросил, из-за острого чувства неполноценности.
Отец из лучших побуждений мне подсунул книжку почитать Пойи, Математика и правдоподобные рассуждения. Я совершенно не помню о чем она, ничем не приглянулось. Но в середине она содержала перевод эссе Эйлера о числах разбиений, пентагональной теореме первых детских шагах этого самого метода производящих функций. По прочтении эссе я понял, что математика из меня никогда не выйдет. Это было явно за гранью моих способностей. Он там написал по шагам, как именно он пришел ко всему этому. Косинус - полином - это было детские игрушки.
Мне стало любопытно, что именно имелось ввиду, тем более, что книжка Пойа у меня есть в настоящем бумажном виде. Честно говоря, да, впечатляет. Эйлер объясняет, как он получил (не доказал строго) формулу для σ (n) -- суммы делителей числа n. Вот первые 20 членов последовательности, начиная с единицы:
1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 10, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20
Далее, цитирую фрагмент статьи Эйлера, приведенной Пойа в качестве иллюстрации математическом мышления Эйлера (отсюда):
Посмотрев немного на последовательность этих чисел, мы едва ли не придем в отчаяние. Нет надежды обнаружить хоть малейший порядок. Неправильность простых чисел так глубоко вплетена в нее, что мы должны считать невозможным распутать некий закон, управляющий этой последовательностью, если мы не знаем закона, управляющего последовательностью самых простых чисел. Могло бы даже показаться, что последовательность, находящаяся перед нами, еще более таинственна, чем последовательность простых чисел. Тем не менее я заметил, что эта последовательность подчиняется вполне определенному закону и может даже рассматриваться как рекуррентная последовательность
σ (n) = σ (n — 1) + σ (n — 2) — σ (n — 5) — σ (n — 7) + σ (n — 12) + σ (n — 15) — σ (n — 22) — σ (n — 26) + σ (n — 35) + σ (n — 40) — σ (n — 51) — σ (n — 57) + σ (n — 70) + σ (n — 77) — σ (n — 92) — σ (n — 100) + ….
К этой формуле мы должны сделать следующие замечания:
I. Знаки + и — в правой части формулы попарно чередуются.
II. Закон чисел 1, 2, 5, 7, 12, 15, …, которые мы должны вычитать из рассматриваемого числа n, станет ясен, если мы возьмем их разности.
Числа 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, …
Разности 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8, …
В самом деле, мы имеем здесь поочередно все целые числа 1, 2, 3, 4,
115
5, 6, … и нечетные числа 3, 5, 7, 9, 11, …, и поэтому мы можем продолжать последовательность этих чисел сколь угодно далеко.
III. Хотя эта последовательность бесконечна, мы должны в каждом случае брать только те члены, для которых числа, стоящие под знаком σ, еще положительны, и опускать σ для отрицательных значений.
IV. Если в нашей формуле встретится символ σ(0), то, поскольку его значение само по себе является неопределенным, мы должны подставить вместо σ(0) рассматриваемое число n.
Особую пикантность придает вот это "тем не менее, я заметил". На самом деле, формула получилось несколько другим способом, но почти таким же огорашивающим тем, ну как он мог догадаться?! Теорема приведена как пример потрясающей математической интуиции Эйлера, тот самый случай, когда "интуитивно" значит совсем не то, что мы привыкли иметь ввиду в обычной жизни, а способность на чистой интуиции "догадываться" о нетривиальных математических фактах, даже если потом не удается их строго обосновать.
Уверился в мысли, что книжку Пойа надо прочитать целиком.
P.S. Название "Наиболее необычный закон чисел" принадлежит Эйлеру.
Эйлер в моей жизни сыграл роковую роль. Я из-за него математику бросил, из-за острого чувства неполноценности.
Отец из лучших побуждений мне подсунул книжку почитать Пойи, Математика и правдоподобные рассуждения. Я совершенно не помню о чем она, ничем не приглянулось. Но в середине она содержала перевод эссе Эйлера о числах разбиений, пентагональной теореме первых детских шагах этого самого метода производящих функций. По прочтении эссе я понял, что математика из меня никогда не выйдет. Это было явно за гранью моих способностей. Он там написал по шагам, как именно он пришел ко всему этому. Косинус - полином - это было детские игрушки.
Мне стало любопытно, что именно имелось ввиду, тем более, что книжка Пойа у меня есть в настоящем бумажном виде. Честно говоря, да, впечатляет. Эйлер объясняет, как он получил (не доказал строго) формулу для σ (n) -- суммы делителей числа n. Вот первые 20 членов последовательности, начиная с единицы:
1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 10, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20
Далее, цитирую фрагмент статьи Эйлера, приведенной Пойа в качестве иллюстрации математическом мышления Эйлера (отсюда):
Посмотрев немного на последовательность этих чисел, мы едва ли не придем в отчаяние. Нет надежды обнаружить хоть малейший порядок. Неправильность простых чисел так глубоко вплетена в нее, что мы должны считать невозможным распутать некий закон, управляющий этой последовательностью, если мы не знаем закона, управляющего последовательностью самых простых чисел. Могло бы даже показаться, что последовательность, находящаяся перед нами, еще более таинственна, чем последовательность простых чисел. Тем не менее я заметил, что эта последовательность подчиняется вполне определенному закону и может даже рассматриваться как рекуррентная последовательность
σ (n) = σ (n — 1) + σ (n — 2) — σ (n — 5) — σ (n — 7) + σ (n — 12) + σ (n — 15) — σ (n — 22) — σ (n — 26) + σ (n — 35) + σ (n — 40) — σ (n — 51) — σ (n — 57) + σ (n — 70) + σ (n — 77) — σ (n — 92) — σ (n — 100) + ….
К этой формуле мы должны сделать следующие замечания:
I. Знаки + и — в правой части формулы попарно чередуются.
II. Закон чисел 1, 2, 5, 7, 12, 15, …, которые мы должны вычитать из рассматриваемого числа n, станет ясен, если мы возьмем их разности.
Числа 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, …
Разности 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8, …
В самом деле, мы имеем здесь поочередно все целые числа 1, 2, 3, 4,
115
5, 6, … и нечетные числа 3, 5, 7, 9, 11, …, и поэтому мы можем продолжать последовательность этих чисел сколь угодно далеко.
III. Хотя эта последовательность бесконечна, мы должны в каждом случае брать только те члены, для которых числа, стоящие под знаком σ, еще положительны, и опускать σ для отрицательных значений.
IV. Если в нашей формуле встретится символ σ(0), то, поскольку его значение само по себе является неопределенным, мы должны подставить вместо σ(0) рассматриваемое число n.
Особую пикантность придает вот это "тем не менее, я заметил". На самом деле, формула получилось несколько другим способом, но почти таким же огорашивающим тем, ну как он мог догадаться?! Теорема приведена как пример потрясающей математической интуиции Эйлера, тот самый случай, когда "интуитивно" значит совсем не то, что мы привыкли иметь ввиду в обычной жизни, а способность на чистой интуиции "догадываться" о нетривиальных математических фактах, даже если потом не удается их строго обосновать.
Уверился в мысли, что книжку Пойа надо прочитать целиком.
P.S. Название "Наиболее необычный закон чисел" принадлежит Эйлеру.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2014-05-09 11:29 am (UTC)Кстати математика была, как бы так сказать - бездоказательной до 19 века.
no subject
Date: 2014-05-09 01:25 pm (UTC)