37

[kaipa]

Число 37 обладает многими любопытными свойствами.

Так, умноженное на 3 и на числа, кратные 3 (до 27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:

37 × 3 = 111;
37 × 6 = 222;
37 × 9 = 333;
37 × 12 = 444;
37 × 15 = 555;
37 × 18 = 666;
37 × 21 = 777;
37 × 24 = 888;
37 × 27 = 999.

Другим интересным свойством числа 37 является то, что некоторые кратные ему числа при круговой перестановке входящих в них цифр дают опять-таки числа, кратные 37. Например:

259 = 7 × 37
592 = 16 × 37
925 = 25 × 37

То же самое верно относительно чисел 185, 518, 851 и чисел 296, 629, 962. Все эти числа состоят из тех же цифр, только переставляемых в круговом порядке, и все они кратны 37.

Это все занимательно, а теперь два нетривиальных свойства.

1. Любое число является суммой не более чем 37 чисел в пятой степени. -- факт указан в википедии без ссылки на источник.

2. Число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных тройками последовательных цифр данного числа, должна делиться на 37. -- олимпиадная задача

По материалам:
http://mathworld.ru/content/o-chislakh-37-i-41
http://ru.wikipedia.org/wiki/37_(число)
http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.mk2.delim2.des&solution=1

Comments

[vincentfischer.livejournal.com]

первая часть про одинаковые цифры крутая

по поводу второй
1. проблема Варинга (можно поискать результат Chen Jingrun, та же вики)
2. очевидно после прочтения первой половины :)

[ushastyi.livejournal.com]

Первая часть крутая только на первый взгляд. На самом деле, это следствие того, что 37*3=111. А дальше уже 111*2, 111*3 и т.п. Можно еще подобных примеров понапридумывать, например, 37037*3=111111, 37037*6=222222 и т.д.

Насчет делимости -- совсем не очевидно. Даже если для трехзначных это работает, то почему работает для 6ти-значных, например. И как это доказать в общем случае?

Спасибо про ссылку на пробему Варинга. Действительно, оттуда g(5)=37. Удивительно, что формула была наинтуичена сыном Эйлера.


P.S. А вообще этот пост был намек совсем на другое, но никто не догадался...

[vincentfischer.livejournal.com]

да, действительно, умножая 111 на 2,3,.. можно получать одинаковые цифры. но для меня выглядит как фокус всё равно :)

делимость:
abc'ijk'xyz = abc*1'000'000 + ijk*1000 + xyz = abc*999'000 + abc*999 + abc + ijk*999 + ijk + xyz = {999 = 27*37} ~=abc + ijk + xyz,
ну и дальше каждые новые три разряда разлагаем на 999 и 1, сводя задачу к такой же, но на три разряда меньше, откуда и следует, что всё определяется делимостью суммы трёхзначных кусков.

исправляюсь, С днём рождения!

[ushastyi.livejournal.com]

Отличное доказательство. Я видел в сети алгоритм, по которому можно вывести признак делимости на что угодно, но тут, конечно, можно таким простым способом, с 999 подвезло.

Спасибо!