kaipa | Математическая теория принятия решений (Reply)

_darkus_ затеял разработку системы поддержки принятия решений (СППР) для диагностики определенного типа заболеваний, и публикует наброски статей по архитектуре. Поскольку я когда-то занимался математической теорией, стоящей за процессами принятия решений, тема для меня не чужая.

Есть много возможных делений СППР по типу задач или алгоритмов, но большинство из них упускает один из ключевых признаков -- роль лица принимающего решения. Об этом я и хочу поговорить.

Для начала, довольно очевидные, но важные определения.

1. Решение -- это элемент конечного или бесконечного множества альтернатив или решений какой-то задачи.
2. Принятие решения -- акт выбора ЛПР решения из множества возможных.
3. Это важно. Акт выбора производится не случайно, а с целью удовлетворения некоторым субъективным для ЛПР или объективным критериям.
4. СППР -- средства и процесс, помогающие ЛПР принять решение.

Ключевой пункт здесь третий. Решения могут быть объективными и субъективными. Большинство систем, которые принято называть СППР, помогают именно с объективными решениями. Экспертные системы -- самый распространенный пример. Объективность в данном случае означает, что разные ЛПР при одних и тех же условиях при помощи СППР выберут одно и то же решение (или небольшой набор решений). Это полезно, но не очень интересно. Куда интереснее, во всяком случае на мой взгляд, СППР, которые помогают ЛПР выразить свои субъективные предпочтения и принять именно его, личное решение.

Все люди разные. Кто-то любит синее, кто-то красное. Большинство реальных ситуаций, когда требуется принимать решения, описываются набором характеристик, часто вступающих между собой в противоречие. Расхожая фраза -- "быстро, недорого, качественно -- выберете два из трех" -- типичный пример ситуации принятия решения. В такой постановке есть как минимум три оптимальных решения (быстро, недорого, некачественно; быстро, дорого, качественно; долго, недорого, качественно) -- и разные люди выбирают разные, в зависимости от своих желаний и возможностей. Можно усложнить задачу и оценить скорость во временных единицах, стоимость в деньгах, а качество -- в количестве брака или дефектов. Пространство решений в этом случае существенно расширяется, но множество достижимых решений ограничено либо моделью, которая связывает эти характеристики между собой, либо выборкой коммерческих предложений (тендеров и т.п.). Как выбрать наилучший вариант?

Решением этой задачи занимаются в рамках многокритериальной оптимизации и использующих ее СППР. Существует два основных методических подхода.

При первом подходе пытаются выяснить у ЛПР его отношения предпочтения между разными критериями, их ранг и т.д. Обычно человеку просто ответить, что более важно для него, А или Б. Не всегда. Эти отношения могут использоваться как в рамках интерактивной процедуры, которая сходится к оптимальному решению, так и для построения функции полезности, которая является скаляризацией критериев. Имея функцию полезности, можно найти ее пересечение с Парето-границей (границей множества решений оптимальных по Парето) -- это и будет оптимальным решением.

Другой подход состоит в визуализации Парето-границы и представлении средств (визуальных) изучения взаимовлияния критериев. Фактически, ЛПР дается полная информация о том, какие решения в принципе возможны, и предлагается самому найти устраивающий его компромисс. Это возможно не всегда, а только когда число критериев не более пяти-семи. При большем числе критериев объективные взаимосвязи донести до ЛПР не получится, особенно в нелинейных задачах. Однако, большинство реальных практических задач описываются небольшим числом критериев, даже если число параметров задачи велико (здесь я подразумеваю, что задача принятия решений описывается некоторой параметризованной моделью). Этот подход работает и в том случае, когда ЛПР много, или когда решение принимается в переговорах нескольких участников. Работает в том смысле, что между решениями разных ЛПР на Парето-границе можно провести аналог геодезической линии, и сущность переговоров сводится к поиску взаимоприемлемого компромисса на этой линии.

При обоих подходах основная математика состоит в построении Парето-границы множества достижимых решений или ее аппроксимации (точной или приближенной). Далее возникают задачи поиска пересечений функции полезности с Парето-границей, или построений двух- трех-мерных сечений для визуализации. Часто задачи ставятся в условиях неопределенности, например, приближенных значениях параметров. Неопределенность можно выражать либо отдельным критерием, либо переносить ее в область решений и учитывать при построении Парето-границы (например, консервативным способом).

Практически такого рода СППР используются при проектировании техники, решении экологических проблем (мелиорации, очистки и т.п.) и сложных задач управления.